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第5問

実数 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 が互いに異なるとき、実数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 に関する次の連立方程式を解け: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
ステップ 5/7: 3つの関係式から x2,x3x_2,x_3 を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

4つの未知数に対する3つの線形関係式を組み合わせると、2つの未知数が完全に決まり、残る2つは互いに等しくなる。

x2=x3=0,x1=x4x_2=x_3=0,\quad x_1=x_4
詳しい解説

ステップ2の式からステップ3の式を引くと 2x2=02x_2=0 となり x2=0x_2=0。ステップ3の式からステップ4の式を引くと 2x3=02x_3=0 となり x3=0x_3=0。これらをステップ2の式に代入すると x1=x4x_1=x_4 を得る。