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第5問

実数 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 が互いに異なるとき、実数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 に関する次の連立方程式を解け: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
ステップ 6/7: 共通の値 x1=x4x_1=x_4 を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

4つの未知数のうち2つが0になれば、元の式1本だけで残り2つを決定するのに十分である。

x1=x4=1a1−a4x_1=x_4=\frac{1}{a_1-a_4}
詳しい解説

x2=x3=0x_2=x_3=0 を i=1i=1 の元の式に代入すると (a1−a3)⋅0+(a1−a4)x4=1(a_1-a_3)\cdot0+(a_1-a_4)x_4=1 となり、x4=1a1−a4x_4=\frac{1}{a_1-a_4}、したがって x1=x4=1a1−a4x_1=x_4=\frac{1}{a_1-a_4} を得る。