MathLabs

第5問

実数 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 が互いに異なるとき、実数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 に関する次の連立方程式を解け: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
ステップ 7/7: 元の添字での答えを述べる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ステップ1の付け替えは単なる名前の並べ替えに過ぎない。すっきりした答えを元の添字に戻すと、解はどの aia_i が極値であるかだけに依存し、特定の付け替え方には依存しないことがわかる。

xmax⁡=xmin⁡=1amax⁡−amin⁡,  the other two xi=0x_{\max}=x_{\min}=\frac{1}{a_{\max}-a_{\min}},\ \text{ the other two } x_i=0
詳しい解説

ステップ1の付け替えを元に戻す:aia_i と aja_j がそれぞれ4つの数の中で最大と最小であるとき、唯一の解は xi=xj=1ai−ajx_i=x_j=\frac{1}{a_i-a_j} で、残り2つの未知数は 00 である。これを元の4つの式すべてに代入すれば、システムを満たすことが確認できる。