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第6問

三角形 ABCABC の辺 ABAB、BCBC、CACA の内部にそれぞれ点 MM、KK、LL を取る。3つの三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK のうち少なくとも1つの面積が、三角形 ABCABC の面積の4分の1以下であることを証明せよ。
ステップ 1/7: 3つの辺上の点をパラメータ化する
ざっくり言うと

比を使うと ABCABC の形や大きさが消え、3つの面積比には M,K,LM,K,L の相対的位置だけが関係する。

p=AMAB,q=BKBC,r=CLCA,0<p,q,r<1p=\frac{AM}{AB},\quad q=\frac{BK}{BC},\quad r=\frac{CL}{CA},\quad 0<p,q,r<1
詳しい解説

p=AMABp=\frac{AM}{AB}、q=BKBCq=\frac{BK}{BC}、r=CLCAr=\frac{CL}{CA} とおく。点は辺の内部にあるため 0<p,q,r<10<p,q,r<1 であり、補う比は BMAB=1−p\frac{BM}{AB}=1-p、CKBC=1−q\frac{CK}{BC}=1-q、ALCA=1−r\frac{AL}{CA}=1-r である。