MathLabs

第6問

三角形 ABCABC の辺 ABAB、BCBC、CACA の内部にそれぞれ点 MM、KK、LL を取る。3つの三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK のうち少なくとも1つの面積が、三角形 ABCABC の面積の4分の1以下であることを証明せよ。
ステップ 2/7: △AML\triangle AML の面積を表す
ざっくり言うと

角を共有するため正弦の因子が相殺され、2次元の面積比が1次元の辺の比の積になる。

[AML][ABC]=p(1−r)\frac{[AML]}{[ABC]}=p(1-r)
詳しい解説

AMLAML と ABCABC は AA の角を共有するので、面積比は隣接する2辺の比の積である: [AML][ABC]=AMAB⋅ALAC=p(1−r)\frac{[AML]}{[ABC]}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AL}{AC}=p(1-r)。