MathLabs

第6問

三角形 ABCABC の辺 ABAB、BCBC、CACA の内部にそれぞれ点 MM、KK、LL を取る。3つの三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK のうち少なくとも1つの面積が、三角形 ABCABC の面積の4分の1以下であることを証明せよ。
ステップ 3/7: 残り2つの隅の面積を表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

3つの隅の巡回構造により、同じ公式が3回現れる。変数は (p,r)(p,r) から (q,p)(q,p)、さらに (r,q)(r,q) へ巡回する。

[BKM][ABC]=q(1−p),[CLK][ABC]=r(1−q)\frac{[BKM]}{[ABC]}=q(1-p),\quad \frac{[CLK]}{[ABC]}=r(1-q)
詳しい解説

BB と CC でも同じ共有角の議論を用いると、[BKM][ABC]=BKBC⋅BMBA=q(1−p)\frac{[BKM]}{[ABC]}=\frac{BK}{BC}\cdot\frac{BM}{BA}=q(1-p) および [CLK][ABC]=CLCA⋅CKCB=r(1−q)\frac{[CLK]}{[ABC]}=\frac{CL}{CA}\cdot\frac{CK}{CB}=r(1-q) を得る。