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第6問

三角形 ABCABC の辺 ABAB、BCBC、CACA の内部にそれぞれ点 MM、KK、LL を取る。3つの三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK のうち少なくとも1つの面積が、三角形 ABCABC の面積の4分の1以下であることを証明せよ。
ステップ 5/7: 3つの厳密不等式を掛け合わせる
ざっくり言うと

積を取ると、3つの面積公式の巡回的な積が、1変数の同じ式 t(1−t)t(1-t) の独立な3つのコピーに変わる。

p(1−p)q(1−q)r(1−r)>164p(1-p)q(1-q)r(1-r)>\frac{1}{64}
詳しい解説

ステップ4の不等式を掛けると p(1−r)q(1−p)r(1−q)>(14)3=164p(1-r)q(1-p)r(1-q)>\left(\frac14\right)^3=\frac1{64} となる。正の因子を並べ替えれば p(1−p)q(1−q)r(1−r)>164p(1-p)q(1-q)r(1-r)>\frac1{64} を得る。