第3問

k,m,n

を自然数とし、

m+k+1

が

n+1

より大きい素数であるとする。

c_s=s(s+1)

とおく。

(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)

が

c_1c_2\cdots c_n

で割り切れることを証明せよ。

ステップ 4/6: 素数を導入する

p=m+k+1,\quad B=\prod_{i=1}^n(p+i),\quad \binom{p+n}{n+1}=p\,\frac{B}{(n+1)!}

詳しい解説

$p=m+k+1$ とおく。第二ブロックを $B=\prod_{i=1}^n(p+i)$ とすると、表示した恒等式は二項係数を展開したものだ。