国際数学オリンピック · 1967年

問題

第1問 $AB=a$ , $AD=1$ , $\angle BAD=\alpha$ をもつ平行四辺形 $ABCD$ を考える。 $\triangle ABD$ が鋭角なら、 $A,B,C,D$ を中心とする半径 $1$ の4円が平行四辺形を覆うことと $a\le\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$ は同値であることを証明せよ。解答: 1
第2問四面体のちょうど1本の辺だけが $1$ より長いとき、その体積が $\frac18$ 以下であることを証明せよ。解答: 1
第3問 $k,m,n$ を自然数とし、 $m+k+1$ が $n+1$ より大きい素数であるとする。 $c_s=s(s+1)$ とおく。 $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)$ が $c_1c_2\cdots c_n$ で割り切れることを証明せよ。解答: 1
第4問 $A_0B_0C_0$ と $A_1B_1C_1$ を任意の二つの鋭角三角形とする。 $A_1B_1C_1$ に相似で、 $A_0B_0C_0$ を外接し、対応する頂点をもつすべての三角形 $ABC$ を考える。 $A_0$ が $BC$ 上、 $B_0$ が $CA$ 上、 $C_0$ が $AB$ 上にあるものとする。その面積が最大のものを決定し作図せよ。解答: 1
第5問 $a_1,\ldots,a_8$ をすべてが0ではない実数とし、 $c_n=a_1^n+\cdots+a_8^n$ ( $n=1,2,\ldots$ ) とする。 $c_n$ が0となる項が無限個あるとき、 $c_n=0$ となるすべての $n$ を求めよ。解答: 1
第6問あるスポーツ競技会で、 $m$ 個のメダルを $n$ 日間連続して授与した（ $n>1$ ）。初日は1個のメダルと残り $m-1$ 個の $\frac17$ を授与し、2日目は2個のメダルとその時点の残りの $\frac17$ を授与し、以下同様とする。第 $n$ 日の最終日に残りの $n$ 個を授与した。 $m$ と $n$ を求めよ。解答: 1