第5問

a_1,\ldots,a_8

をすべてが0ではない実数とし、

c_n=a_1^n+\cdots+a_8^n

(

n=1,2,\ldots

) とする。

c_n

が0となる項が無限個あるとき、

c_n=0

となるすべての

n

を求めよ。

ステップ 2/7: 小さい項を抑える

\sum_{|a_i|<R}|a_i|^n<R^n

詳しい解説

十分大きい $n$ では、高々7個の小さい絶対値のべきの和は $R^n$ 未満になる。 $c_n=0$ の添字は無限にあり非有界なので、そのような大きい $n$ を選ぶ。