MathLabs

第1問

辺の長さが連続する3つの整数であり、ある1つの角が別の角のちょうど2倍になっている三角形が、ちょうど1つだけ存在することを証明せよ。
ステップ 1/6: 角と辺の記号を設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

2つの頂点での角の比が 2:12:1 を保ったまま三角形を伸ばしたり縮めたりする様子を想像してほしい。形が連続的に変化するにつれて辺の長さの比も変化する。辺の長さが連続する整数であるという条件は非常に厳しく離散的なので、両方の条件を同時に満たす形はごくわずか(おそらく1つだけ)しかないと考えるのは自然である。

∠BAC=2α,∠ABC=α,BC=a, CA=b, AB=c\angle BAC = 2\alpha, \quad \angle ABC = \alpha, \quad BC=a,\ CA=b,\ AB=c
詳しい解説

三角形 ABCABC において ∠ABC=α\angle ABC = \alpha、∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha とし、AA、BB、CC に向かい合う辺の長さをそれぞれ a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB とする。3辺はある順序で並んだ3つの連続する正の整数である。目標は、ある1つの角がちょうど別の角の2倍になっているすべての三角形を求め、それがただ1つしか存在しないことを示すことである。