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第1問

辺の長さが連続する3つの整数であり、ある1つの角が別の角のちょうど2倍になっている三角形が、ちょうど1つだけ存在することを証明せよ。
ステップ 2/6: 正弦定理より cos α = a/(2b)
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ざっくり言うと

この関係式は、角の条件 ∠A=2∠B\angle A = 2\angle B と辺の長さとを結びつける明快な橋渡しである。小さい方の角の余弦が、2辺の比だけで完全に決まり、他の未知数は一切関与しないことを示している。

bsin⁡α=asin⁡2α  ⟹  cos⁡α=a2b\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin 2\alpha} \;\Longrightarrow\; \cos\alpha=\frac{a}{2b}
詳しい解説

正弦定理より bsin⁡α=asin⁡2α\dfrac{b}{\sin\alpha}=\dfrac{a}{\sin2\alpha} が成り立つ。sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha であるから、これは sin⁡2αsin⁡α=2cos⁡α=ab\dfrac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha=\dfrac{a}{b} に簡略化され、したがって cos⁡α=a2b\cos\alpha=\dfrac{a}{2b} を得る。