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第1問

辺の長さが連続する3つの整数であり、ある1つの角が別の角のちょうど2倍になっている三角形が、ちょうど1つだけ存在することを証明せよ。
ステップ 3/6: 余弦定理から鍵となる恒等式を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ここで三角関数の役目は終わり、以後は不要になる。角の条件に関する重要な情報はすべて、整数 a,b,ca,b,c に関する1つの多項式方程式へと圧縮された。これはまさに整除性の議論で攻略できる形の主張である。

cos⁡α=a2+c2−b22ac=a2b  ⟹  a2c=b(a2+c2−b2)\cos\alpha=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a}{2b} \;\Longrightarrow\; a^2c=b(a^2+c^2-b^2)
詳しい解説

頂点 BB に余弦定理を適用すると cos⁡α=a2+c2−b22ac\cos\alpha=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} を得る。これをステップ2の a2b\dfrac{a}{2b} と等しいとおき分母を払うと、3辺の長さだけを結びつける恒等式 a2c=b(a2+c2−b2)a^2c=b(a^2+c^2-b^2) が得られる。