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第1問

辺の長さが連続する3つの整数であり、ある1つの角が別の角のちょうど2倍になっている三角形が、ちょうど1つだけ存在することを証明せよ。
ステップ 4/6: b は a²c を割り切らねばならず、したがって b は中間の整数になれない
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

これが決定的な絞り込みの一手である。どの辺が aa、bb、cc になるかという 3!=63!=6 通りの並べ方をすべて調べる代わりに、連続する整数どうしの互いに素性がただちに半分の場合を排除し、手作業で調べるべき配置はわずか2通りに絞られる。

b∣a2c,a<b<c or c<b<a ⟹ gcd⁡(b,a)=gcd⁡(b,c)=1b \mid a^2c, \qquad a<b<c\ \text{or}\ c<b<a\ \Longrightarrow\ \gcd(b,a)=\gcd(b,c)=1
詳しい解説

a,b,ca,b,c は正の整数であるから、恒等式 a2c=b(a2+c2−b2)a^2c=b(a^2+c^2-b^2) より b∣a2cb\mid a^2c となる。もし bb が aa と cc の間(3つの連続整数のうち真ん中)にあるとすると、bb は隣接する aa、cc の両方と互いに素になる(連続する整数は互いに素である)ため、b=1b=1 でない限り bb は a2ca^2c を割り切れないが、それは非退化な三角形では起こり得ない。したがって bb は3つの連続整数のうち最小か最大でなければならない。