第1問

$b$ が3つの連続整数のうち最小であるとし、$\{a,c\}=\{b+1,b+2\}$ が何らかの順序で成り立つとする。大きい方の隣接数 $b+2$ が $a$ の役割を担う場合、$b\mid a^2c$ は $b\mid(b+2)^2$ となり、$b\mid(b+2)^2-b^2-4b=4$ より $b\in\{1,2,4\}$ を得る。$b=1$（退化）と $b=2$（$a,c=3,4$ となるが恒等式を満たさない）を直接確認すると、残るのは $b=4$ のみで、このとき $a^2c=b(a^2+c^2-b^2)=180$ となり $a=6$、$c=5$、すなわち辺の長さ $4,5,6$ の三角形が得られる。逆に $b+2$ が $c$ の役割を担う場合、同様の議論 $b\mid b+2$ より $b\in\{1,2\}$ となるが、これらはすでに除外済みであり、この場合分けから新たな解は得られない。