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第1問

辺の長さが連続する3つの整数であり、ある1つの角が別の角のちょうど2倍になっている三角形が、ちょうど1つだけ存在することを証明せよ。
ステップ 6/6: b が最大の場合は解が存在しない
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ざっくり言うと

「bb が最小」と「bb が最大」の対称性により、この最後の場合はほぼ労力なしで片付く。同じ約数の上限 44 が再び現れ、bb の候補値はすべてすでに処理済みであるため、この枝全体を排除するのにわずか数行しかかからない。

b=max⁡{a,b,c} ⟹ b∣(b−2)2−b2+4b=4 ⟹ b∈{1,2,4}b=\max\{a,b,c\}\ \Longrightarrow\ b\mid(b-2)^2-b^2+4b=4\ \Longrightarrow\ b\in\{1,2,4\}
詳しい解説

次に bb が3つの連続整数のうち最大であるとし、{a,c}={b−1,b−2}\{a,c\}=\{b-1,b-2\} とする。a=b−2a=b-2（あるいは対称的に c=b−2c=b-2）の場合は b∣b−2b\mid b-2 を要求するが、b>2b>2 ではこれは不合理である。残る場合は、先と同様の変形により b∣(b−2)2−b2+4b=4b\mid(b-2)^2-b^2+4b=4 に帰着し、再び b∈{1,2,4}b\in\{1,2,4\} となるが、b=1b=1 は退化しており、b=2,4b=2,4 はステップ5ですでに不成立か別の場合に属することが示されている。したがって bb が最大の辺となる三角形は存在しない。両方の場合を合わせると、問題の条件を満たす三角形は辺の長さ 4,5,64,5,6 のものだけであり、それは一意である。