先頭の桁の後に桁を1つ追加するごとに、桁の積は最大でも 999 倍にしかならないが、xxx 自身はおよそ 101010 倍になる。したがって2桁以上の数では、桁の積はすぐに xxx よりはるかに小さくなってしまう。
xxx の十進展開を d1d2⋯dnd_1d_2\cdots d_nd1d2⋯dn とし、d1≥1d_1\ge1d1≥1 とする。各桁は 9<109<109<10 以下であるから、積は d1d2⋯dn≤d1⋅10n−1d_1d_2\cdots d_n\le d_1\cdot10^{n-1}d1d2⋯dn≤d1⋅10n−1 を満たし、d1d_1d1 は最上位の桁であるから x≥d1⋅10n−1x\ge d_1\cdot10^{n-1}x≥d1⋅10n−1 が成り立つ。したがって桁の積は常に xxx 以下であり、等号が成り立つのは xxx が1桁の場合に限る。