MathLabs

第2問

十進法で表したときの各桁の数字の積が x2−10x−22x^2 - 10x - 22 に等しくなるような、すべての自然数 xx を求めよ。
ステップ 3/5: x = 1 から 11 を除外する
ざっくり言うと

この段階は単なる符号の確認であり、数値探索ではない。ここでは桁の積を一切計算する必要はなく、負であるという事実だけで、これら11個の候補すべてを一挙に除外できるからである。

x∈{1,…,11}  ⟹  x2−10x−22<0, impossible for a digit productx\in\{1,\dots,11\} \;\Longrightarrow\; x^2-10x-22<0,\ \text{impossible for a digit product}
詳しい解説

直接確認すると、x∈{1,2,…,11}x\in\{1,2,\dots,11\} のすべてで x2−10x−22<0x^2-10x-22<0 となる(例えば x=11x=11 では 121−110−22=−11121-110-22=-11 であり、放物線の頂点に近い小さい xx ではさらに負になる)。しかし桁の積は非負整数どうしの積であるから、決して負にはなり得ない。したがって x=1,…,11x=1,\dots,11 のいずれも方程式を満たさない。