MathLabs

第3問

未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n に関する次の連立方程式を考える。ここで a,b,ca, b, c は実数で a≠0a \neq 0 とする: ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac とおく。次を証明せよ:(a) Δ<0\Delta<0 ならば解は存在しない;(b) Δ=0\Delta=0 ならば解はちょうど1つである;(c) Δ>0\Delta>0 ならば解は2つ以上存在する。
ステップ 2/5: Δ はまさに s の判別式である
前のステップ次のステップ
s(t):=at2+(b−1)t+c,Δ=(b−1)2−4acs(t):=at^2+(b-1)t+c,\qquad \Delta=(b-1)^2-4ac
補助放物線 s(t) = t² − t − 2。a = 1、b = 0、c = −2、Δ = 9 > 0 の例で、t = −1 と t = 2 で軸と交わる
上に開いた放物線 s(t) = t の2乗引くt引く2。t = -1 と t = 2 で横軸と交わり、この2根の間では負、外側では正になっている。
詳しい解説

2次式 s(t)=at2+(b−1)t+cs(t)=at^2+(b-1)t+c の判別式は (b−1)2−4ac(b-1)^2-4ac であり、これは問題で与えられた Δ\Delta そのものである。a≠0a\neq0 であるから、Δ\Delta の符号は ss の実根の個数を完全に決定する:Δ<0\Delta<0 なら根なし、Δ=0\Delta=0 なら重根が1つ、Δ>0\Delta>0 なら根が2つ。任意の2つの実根の間(根がない場合は全体で)、ss は一定の符号を保つ。