MathLabs

第3問

未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n に関する次の連立方程式を考える。ここで a,b,ca, b, c は実数で a≠0a \neq 0 とする: ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac とおく。次を証明せよ:(a) Δ<0\Delta<0 ならば解は存在しない;(b) Δ=0\Delta=0 ならば解はちょうど1つである;(c) Δ>0\Delta>0 ならば解は2つ以上存在する。
ステップ 3/5: Δ < 0 の場合:解なし
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

これは符号に関する明快な議論である。同符号の非零な数だけからなる和は、どのように xix_i を選んでも決してゼロに潰れることはない。

Δ<0  ⟹  s(t)≠0 ∀t  ⟹  s(xi) all same sign  ⟹  ∑i=1ns(xi)≠0\Delta<0 \;\Longrightarrow\; s(t)\neq0 \ \forall t \;\Longrightarrow\; s(x_i) \text{ all same sign} \;\Longrightarrow\; \sum_{i=1}^n s(x_i)\neq0
詳しい解説

Δ<0\Delta<0 ならば2次式 ss は実根を持たないので、s(t)s(t) は決して消えず、すべての実数 tt で aa と同じ符号を保つ。すべての s(xi)s(x_i) が同じ符号を持つため、和 ∑i=1ns(xi)\sum_{i=1}^n s(x_i) は0ではない。これは ∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0 と矛盾するので、実数解 (x1,…,xn)(x_1,\ldots,x_n) は存在しない。