MathLabs

第3問

未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n に関する次の連立方程式を考える。ここで a,b,ca, b, c は実数で a≠0a \neq 0 とする: ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac とおく。次を証明せよ:(a) Δ<0\Delta<0 ならば解は存在しない;(b) Δ=0\Delta=0 ならば解はちょうど1つである;(c) Δ>0\Delta>0 ならば解は2つ以上存在する。
ステップ 4/5: Δ = 0 の場合:ちょうど1つの解
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

重根は「符号変化なし」と「真の符号変化」との境界のような場合である。放物線はちょうどゼロに触れるだけなので、前の場合の同符号和の議論がほぼいたるところで依然として通用し、その唯一の接点だけが例外として、まさにその一意な定数解を特定する。

Δ=0  ⟹  s(t)=a(t−r)2, s(t) same sign as a except s(r)=0  ⟹  x1=⋯=xn=r\Delta=0 \;\Longrightarrow\; s(t)=a(t-r)^2,\ s(t)\ \text{same sign as } a \text{ except } s(r)=0 \;\Longrightarrow\; x_1=\cdots=x_n=r
詳しい解説

Δ=0\Delta=0 ならば2次式は唯一の根 rr を用いて s(t)=a(t−r)2s(t)=a(t-r)^2 と因数分解でき、したがって t≠rt\neq r のすべてで s(t)s(t) は aa と同符号であり、s(r)=0s(r)=0 である。ステップ1より ∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0 であり、各項 s(xi)s(x_i) は(xi=rx_i=r のとき)ゼロであるか、(xi≠rx_i\neq r のとき)aa の一定符号を持つかのいずれかであるから、和が消えるためにはすべての項がゼロでなければならない、すなわちすべての ii について xi=rx_i=r となる。逆に (r,…,r)(r,\ldots,r) は系を満たす。なぜなら s(r)=0s(r)=0 は ar2+br+c=rar^2+br+c=r を意味するからである。したがって系はちょうど1つの解 (r,r,…,r)(r,r,\ldots,r) を持つ。