MathLabs

第3問

未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n に関する次の連立方程式を考える。ここで a,b,ca, b, c は実数で a≠0a \neq 0 とする: ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac とおく。次を証明せよ:(a) Δ<0\Delta<0 ならば解は存在しない;(b) Δ=0\Delta=0 ならば解はちょうど1つである;(c) Δ>0\Delta>0 ならば解は2つ以上存在する。
ステップ 5/5: Δ > 0 の場合:解は2つ以上
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

補助2次式の2つの根は、労せずして2つの独立な「すべて等しい」解を与えてくれる。問題は解が2つ以上あることだけを求めているので、定数でない解を探す必要は一切ない——もっとも一般にはさらに多くの解が存在し得る。

Δ>0  ⟹  s(r1)=s(r2)=0, r1≠r2  ⟹  (r1,…,r1) and (r2,…,r2) both solve the system\Delta>0 \;\Longrightarrow\; s(r_1)=s(r_2)=0,\ r_1\neq r_2 \;\Longrightarrow\; (r_1,\ldots,r_1) \text{ and } (r_2,\ldots,r_2) \text{ both solve the system}
詳しい解説

Δ>0\Delta>0 ならば2次式 ss は相異なる2つの実根 r1≠r2r_1\neq r_2 を持ち、s(r1)=s(r2)=0s(r_1)=s(r_2)=0、すなわち ar12+br1+c=r1ar_1^2+br_1+c=r_1 および ar22+br2+c=r2ar_2^2+br_2+c=r_2 が成り立つ。すべての ii について xi=r1x_i=r_1 とおくと、各方程式は ar12+br1+c=r1ar_1^2+br_1+c=r_1 に帰着するため巡回系のすべての方程式を満たす。同様にすべての ii について xi=r2x_i=r_2 とおいても系全体を満たす。これにより、真に異なる2つの定数解 (r1,…,r1)≠(r2,…,r2)(r_1,\ldots,r_1)\neq(r_2,\ldots,r_2) が得られ、系は2つ以上の解を持つ。