MathLabs

第4問

任意の四面体には、その頂点に集まる3本の辺の長さが三角形の3辺となるような頂点が少なくとも1つ存在することを証明せよ。
ステップ 1/4: 6本の辺に名前を付け、最長辺を選ぶ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最長辺だけが障害になり得る。ある頂点で他の2辺の和がそれを超えなければ、その頂点は使えない。しかし四面体の残りの面が他の辺を強く制約するため、その障害を別の頂点へ移すと、そこで消えることになる。

{a,b,c}=edges of one face,{d,e,f}=opposite edges,a=max⁡{a,b,c,d,e,f}\{a,b,c\}=\text{edges of one face},\qquad \{d,e,f\}=\text{opposite edges},\qquad a=\max\{a,b,c,d,e,f\}
面を少し展開した四面体。4つの頂点と各頂点に集まる3本の辺を示す
4つの頂点と各頂点に接する3本の辺が見えるよう、面を少し離して表示した三次元の四面体。
詳しい解説

1つの三角形の面を取り、その辺の長さを a,b,ca,b,c とする。a,b,ca,b,c にそれぞれ隣接しない3本の辺を d,e,fd,e,f と呼ぶ。必要なら四面体の名前を付け替え、aa が6本すべての辺の中で最大になるようにする。目標は、ある頂点に集まる3辺 a,b,fa,b,f または別の頂点に集まる3辺 a,c,ea,c,e のいずれかが、3つの厳密な三角不等式をすべて満たすことを示すことである。