第4問

任意の四面体には、その頂点に集まる3本の辺の長さが三角形の3辺となるような頂点が少なくとも1つ存在することを証明せよ。

ステップ 2/4: 一方の候補が失敗すると仮定し、向かいの面から e > b を得る

ざっくり言うと

失敗した不等式 $b+f\le a$ も無駄ではない。面上の厳密な不等式 $e+f>a$ と比較すれば、ただちに $e$ が $b$ より長いことが分かる。

b+f\le a \;\Longrightarrow\; e+f>a \;\Longrightarrow\; e>b

詳しい解説

$b+f>a$ ならば、3辺 $a,b,f$ では最長辺が他の2辺の和より小さいことがすでに分かり、 $a$ が最大であることから残りの2つの三角不等式 $a+b>f$ と $a+f>b$ も従う。そこで $b+f\le a$ と仮定する。辺 $a,e,f$ を持つ面の三角不等式より $e+f>a$ 。 $b+f\le a<e+f$ を合わせて $f$ を消去すると $e>b$ を得る。