第4問

任意の四面体には、その頂点に集まる3本の辺の長さが三角形の3辺となるような頂点が少なくとも1つ存在することを証明せよ。

ステップ 4/4: 2つの頂点の一方は必ず条件を満たす

ざっくり言うと

この証明は二方向の罠である。第1の頂点がすぐ条件を満たすか、そうでなければその失敗が第2の頂点を通すために必要な比較を正確に与える。

b+f>a \Longrightarrow\triangle(a,b,f),\qquad b+f\le a \Longrightarrow\ c+e>a \Longrightarrow\triangle(a,c,e)

詳しい解説

場合は2つしかない。 $b+f>a$ ならば、3辺 $a,b,f$ はすべての三角不等式を満たし、1つの頂点に集まる。 $b+f\le a$ ならば、ステップ2〜3より $c+e>a$ であり、3辺 $a,c,e$ はすべての三角不等式を満たして別の頂点に集まる。いずれの場合も、3本の接する辺の長さが三角形の3辺となる頂点が存在し、主張が証明される。