平方根は絶対値を生むが、ステップ1の全域での下界がその符号を決める。1回の適用では非線形写像を通るが、2回の適用では恒等写像となる。これはまさに周期 2a2a2a の周期性である。
元の方程式で xxx を x+ax+ax+a に置き換える。ステップ2の恒等式より f(x+a)−f(x+a)2=(12−f(x))2f(x+a)-f(x+a)^2=(\frac12-f(x))^2f(x+a)−f(x+a)2=(21−f(x))2 なので、f(x+2a)=12+(12−f(x))2=12+∣f(x)−12∣f(x+2a)=\frac12+\sqrt{(\frac12-f(x))^2}=\frac12+\left|f(x)-\frac12\right|f(x+2a)=21+(21−f(x))2=21+f(x)−21 となる。ステップ1より f(x)≥12f(x)\ge\frac12f(x)≥21 だから絶対値は f(x)−12f(x)-\frac12f(x)−21 であり、すべての xxx で f(x+2a)=f(x)f(x+2a)=f(x)f(x+2a)=f(x) となる。