MathLabs

第5問

すべての実数 xx で定義された実数値関数 ff があり、ある正の定数 aa に対して、すべての xx について f(x+a)=12+f(x)−f(x)2f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2} が成り立つとする。(a) ff が周期関数であることを証明せよ。(b) a=1a=1 の場合に、条件を満たす非定数関数の例を与えよ。
ステップ 4/5: a = 1 の非定数例を定義する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この構成は2状態の時計である。1つの単位区間では値が 11、次の区間では 12\frac12 となり、そのパターンが繰り返される。漸化式は 11 を 12\frac12 に、12\frac12 を 11 に写すので、1区間の平行移動がまさに必要な状態交換を行う。

f(x)={1,2n≤x<2n+1,12,2n+1≤x<2n+2,n∈Zf(x)=\begin{cases}1,&2n\le x<2n+1,\\[2pt]\frac12,&2n+1\le x<2n+2,\end{cases}\qquad n\in\mathbb Z
詳しい解説

a=1a=1 とし、整数 nn に対して 2n≤x<2n+12n\le x<2n+1 のとき f(x)=1f(x)=1、2n+1≤x<2n+22n+1\le x<2n+2 のとき f(x)=12f(x)=\frac12 と定義する。これらの半開区間は実数全体を分割するので定義は曖昧でなく、ff は非定数である。また周期 22 を持つことも明らかである。