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国際数学オリンピック
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1968年
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第6問
第6問
[
x
]
[x]
[
x
]
を
x
x
x
以下の最大の整数とする。正整数
n
n
n
に対し、
[
n
+
1
2
]
+
[
n
+
2
4
]
+
[
n
+
4
8
]
+
⋯
[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots
[
2
n
+
1
]
+
[
4
n
+
2
]
+
[
8
n
+
4
]
+
⋯
を
n
n
n
の関数として表せ。
ステップ 2/5: 恒等式をスケールする
前のステップ
次のステップ
[
n
2
k
]
=
[
n
2
k
+
1
]
+
[
n
+
2
k
2
k
+
1
]
\left[\frac n{2^k}\right]=\left[\frac n{2^{k+1}}\right]+\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right]
[
2
k
n
]
=
[
2
k
+
1
n
]
+
[
2
k
+
1
n
+
2
k
]
詳しい解説
恒等式を
x
=
n
/
2
k
x=n/2^k
x
=
n
/
2
k
に適用すると、すべての整数
k
≥
0
k\ge0
k
≥
0
で表示式を得る。
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