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国際数学オリンピック
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1968年
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第6問
第6問
[
x
]
[x]
[
x
]
を
x
x
x
以下の最大の整数とする。正整数
n
n
n
に対し、
[
n
+
1
2
]
+
[
n
+
2
4
]
+
[
n
+
4
8
]
+
⋯
[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots
[
2
n
+
1
]
+
[
4
n
+
2
]
+
[
8
n
+
4
]
+
⋯
を
n
n
n
の関数として表せ。
ステップ 5/5: 末尾を0にする
前のステップ
次のステップ
∑
k
=
0
∞
[
n
+
2
k
2
k
+
1
]
=
n
\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right]=n
k
=
0
∑
∞
[
2
k
+
1
n
+
2
k
]
=
n
詳しい解説
2
N
+
1
>
n
2^{N+1}>n
2
N
+
1
>
n
なら最後の床関数は
0
0
0
で、それ以降の項もすべて
0
0
0
である。よって求める和は
n
n
n
となる。
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