国際数学オリンピック · 1969年

問題

第1問すべての自然数 $n$ に対して $n^4+a$ が素数でないような自然数 $a$ が無限に存在することを証明せよ。解答: 1
第2問 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ を実定数、 $x$ を実数とし、 $f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)$ と定める。 $f(x_1)=f(x_2)=0$ のとき、ある整数 $m$ に対して $x_2-x_1=m\pi$ であることを証明せよ。解答: 1
第3問 $k=1,2,3,4,5$ の各々について、 $k$ 本の辺の長さが $a$ 、残りの $6-k$ 本の辺の長さが $1$ である四面体が存在するための $a>0$ の必要十分条件を求めよ。解答: 1
第4問直径 $AB$ の半円弧 $\gamma$ を描く。 $C$ を $A,B$ 以外の弧上の点とし、 $D$ を $C$ から $AB$ への垂線の足とする。三円 $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ は直線 $AB$ に接し、 $\gamma_1$ は三角形 $ABC$ の内接円、 $\gamma_2$ と $\gamma_3$ は $CD$ と $\gamma$ に接し、 $CD$ の反対側にそれぞれ位置する。三円がもう一つの共通接線を持つことを証明せよ。解答: 1
第5問平面上の $n>4$ 個の点は三点が一直線上にないとする。与えられた点を頂点とする凸四角形が少なくとも $\binom{n-3}{2}$ 個あることを証明せよ。解答: 1
第6問実数 $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ が $x_1>0$ , $x_2>0$ , $x_1y_1>z_1^2$ , $x_2y_2>z_2^2$ を満たすとき、 $\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}$ を証明せよ。等号成立の必要十分条件を求めよ。解答: 1