第1問

すべての自然数

n

に対して

n^4+a

が素数でないような自然数

a

が無限に存在することを証明せよ。

ステップ 1/4: 因数分解を見つける

ざっくり言うと

付け加える項を選び、四次式を二つの平方の差にする。

n^4+4r^4=(n^2+2r^2)^2-(2rn)^2=(n^2+2rn+2r^2)(n^2-2rn+2r^2)

詳しい解説

平方差の公式からソフィー・ジェルマンの因数分解 $n^4+4r^4=(n^2+2rn+2r^2)(n^2-2rn+2r^2)$ を得る。これは任意の整数 $n,r$ に対して成り立つ。