MathLabs

第1問

すべての自然数 nn に対して n4+an^4+a が素数でないような自然数 aa が無限に存在することを証明せよ。
ステップ 2/4: 無限個の候補を選ぶ
ざっくり言うと

明示的な無限族を一つ作れば十分であり、すべての aa を求める必要はない。

a=4r4,r=2,3,4,…a=4r^4,\qquad r=2,3,4,\ldots
詳しい解説

各整数 r≥2r\ge2 に対して a=4r4a=4r^4 と置く。異なる rr は異なる自然数 aa を与えるので、そのような各 aa が条件を満たすことを示せばよい。