MathLabs

第1問

すべての自然数 nn に対して n4+an^4+a が素数でないような自然数 aa が無限に存在することを証明せよ。
ステップ 3/4: 二つの因子を確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

因数分解だけでは不十分である。合成数にするには二つの非自明な因子が必要であり、平方和の形がそれを保証する。

n2+2rn+2r2=(n+r)2+r2>1,n2−2rn+2r2=(n−r)2+r2>1n^2+2rn+2r^2=(n+r)^2+r^2>1,\qquad n^2-2rn+2r^2=(n-r)^2+r^2>1
詳しい解説

二つの因子はいずれも平方和である。r≥2r\ge2 なので各因子には r2≥4r^2\ge4 という正の項が含まれ、任意の自然数 nn に対して整数として 11 より大きい。