第1問

すべての自然数

n

に対して

n^4+a

が素数でないような自然数

a

が無限に存在することを証明せよ。

ステップ 4/4: 無限性を結論する

ざっくり言うと

族 $a=4r^4$ だけで必要な無限性が証明される。

n^4+a=(n^2+2rn+2r^2)(n^2-2rn+2r^2),\qquad a=4r^4

詳しい解説

したがって任意の自然数 $n$ について $n^4+a$ は $1$ より大きい二整数の積であり、素数ではない。 $r=2,3,4,\ldots$ は相異なる $a$ を無限個与えるので証明が終わる。