MathLabs

第2問

a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を実定数、xx を実数とし、f(x)=cos⁡(a1+x)+12cos⁡(a2+x)+⋯+12n−1cos⁡(an+x)f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x) と定める。f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0 のとき、ある整数 mm に対して x2−x1=mπx_2-x_1=m\pi であることを証明せよ。
ステップ 2/4: 正弦波が零関数でないことを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

第一項の重みは、後続項が与えうる負の寄与の合計より大きい。

f(−a1)≥1−∑j=2n21−j=21−n>0f(-a_1)\ge1-\sum_{j=2}^n2^{1-j}=2^{1-n}>0
詳しい解説

x=−a1x=-a_1 とすると第一項の余弦は 11 になる。他の余弦はすべて −1-1 以上で、残りの重みの和は 1−21−n1-2^{1-n} である。したがって f(−a1)≥21−n>0f(-a_1)\ge2^{1-n}>0 となり、BB と CC は同時に零ではない。