MathLabs

第2問

a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を実定数、xx を実数とし、f(x)=cos⁡(a1+x)+12cos⁡(a2+x)+⋯+12n−1cos⁡(an+x)f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x) と定める。f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0 のとき、ある整数 mm に対して x2−x1=mπx_2-x_1=m\pi であることを証明せよ。
ステップ 3/4: 位相をずらした一つの余弦に書く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ周波数の正弦と余弦の一次結合は、水平方向にずれた余弦に過ぎない。

R=B2+C2>0,f(x)=Rcos⁡(x+δ)R=\sqrt{B^2+C^2}>0,\qquad f(x)=R\cos(x+\delta)
詳しい解説

cos⁡δ=B/R\cos\delta=B/R、sin⁡δ=C/R\sin\delta=C/R となる δ\delta を選ぶ。このとき Rcos⁡(x+δ)=Bcos⁡x−Csin⁡x=f(x)R\cos(x+\delta)=B\cos x-C\sin x=f(x) であり、前段階より振幅 RR は正である。