第2問

a_1,a_2,\ldots,a_n

を実定数、

x

を実数とし、

f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)

と定める。

f(x_1)=f(x_2)=0

のとき、ある整数

m

に対して

x_2-x_1=m\pi

であることを証明せよ。

ステップ 4/4: 零点を比較する

ざっくり言うと

余弦の零点は半回転ごとに現れ、間隔はちょうど整数倍の $\pi$ である。

\cos(x_i+\delta)=0\Rightarrow x_i+\delta=\frac\pi2+k_i\pi\quad(i=1,2),\qquad x_2-x_1=(k_2-k_1)\pi

単位円は四分の一回転の位置にある余弦の零点を示す。

詳しい解説

$R>0$ なので仮定から $i=1,2$ について $\cos(x_i+\delta)=0$ である。余弦の零点は $\frac\pi2+k\pi$ だから、二式を引けば $x_2-x_1=(k_2-k_1)\pi$ を得る。