第3問

k=1,2,3,4,5

の各々について、

k

本の辺の長さが

a

、残りの

6-k

本の辺の長さが

1

である四面体が存在するための

a>0

の必要十分条件を求めよ。

ステップ 1/5: 長い辺が一本と五本の場合

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

二つの剛体三角形を蝶番で動かすと距離は連続的に変化し、平らな位置が除外される退化端点になる。

0<a<\sqrt3\quad(k=1),\qquad a>\frac1{\sqrt3}\quad(k=5)

四頂点六辺の四面体の模式図。問題の辺長は図の縮尺とは異なる。

詳しい解説

$k=1$ では唯一の $a$ 辺を $AB$ とし、単位正三角形 $ACD$ と $BCD$ を $CD$ のまわりに蝶番のように動かす。非退化な位置では $AB$ は $0$ と $\sqrt3$ の間を厳密に動くので $0<a<\sqrt3$ である。 $a$ と $1$ を交換して $1/a$ 倍すれば $k=5$ を得て、 $1/a<\sqrt3$ 、すなわち $a>1/\sqrt3$ となる。