MathLabs

第3問

k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5 の各々について、kk 本の辺の長さが aa、残りの 6−k6-k 本の辺の長さが 11 である四面体が存在するための a>0a>0 の必要十分条件を求めよ。
ステップ 2/5: 長い二辺を解析する
ざっくり言うと

二本の特別な辺の配置が重要であり、隣接配置と対辺配置は異なる範囲を与え、それらの合併が答えになる。

2−3<a<2+3(adjacent a-edges),0<a<2(opposite a-edges)\sqrt{2-\sqrt3}<a<\sqrt{2+\sqrt3}\quad\text{(adjacent $a$-edges)},\qquad 0<a<\sqrt2\quad\text{(opposite $a$-edges)}
詳しい解説

二本の aa 辺が頂点を共有する場合、反対側の単位辺を軸に二つの単位三角形を蝶番運動させる。二つの平面極限は 2−3\sqrt{2-\sqrt3} と 2+3\sqrt{2+\sqrt3} であり、その間の開区間が可能である。aa 辺が向かい合う場合は円の軌跡から 0<a<20<a<\sqrt2 を得る。よって k=2k=2 の合併条件は 0<a<2+30<a<\sqrt{2+\sqrt3} である。