MathLabs

第3問

k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5 の各々について、kk 本の辺の長さが aa、残りの 6−k6-k 本の辺の長さが 11 である四面体が存在するための a>0a>0 の必要十分条件を求めよ。
ステップ 3/5: 補集合となる四辺の場合
ざっくり言うと

すべての長さを逆数に置き換えると、aa 辺と単位辺の役割が交換される。

0<a<2+3(k=2),a>12+3=2−3(k=4)0<a<\sqrt{2+\sqrt3}\quad(k=2),\qquad a>\frac1{\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{2-\sqrt3}\quad(k=4)
詳しい解説

k=4k=4 では二つの辺長を交換し、k=2k=2 の結果を相似拡大する。条件は 1/a<2+31/a<\sqrt{2+\sqrt3}、すなわち a>1/2+3=2−3a>1/\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{2-\sqrt3} となる。厳密不等号は平面四面体を除く。