第3問

k=1,2,3,4,5

の各々について、

k

本の辺の長さが

a

、残りの

6-k

本の辺の長さが

1

である四面体が存在するための

a>0

の必要十分条件を求めよ。

ステップ 4/5: 長い三辺を構成する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

三本の特別な辺を小さい面にするか、頂点から出る三辺にするかを選び、二つの構成で全範囲を補う。

k=3:\quad 0<a<\sqrt3\ \text{or}\ a>\frac1{\sqrt3};\qquad (0,\infty)=(0,\sqrt3)\cup\left(\frac1{\sqrt3},\infty\right)

詳しい解説

$a\le1$ では三本の $a$ 辺を一つの面に置き、その面の外側に第四頂点を取れる条件は $a<\sqrt3$ である。 $a\ge1$ では三本の単位辺を一つの面に置き、その三頂点を第四頂点へ $a$ 辺で結ぶ構成が $a>1/\sqrt3$ で可能である。二つの範囲は重なり、すべての $a>0$ を覆う（ $a=1$ は正四面体）。