MathLabs

第3問

k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5 の各々について、kk 本の辺の長さが aa、残りの 6−k6-k 本の辺の長さが 11 である四面体が存在するための a>0a>0 の必要十分条件を求めよ。
ステップ 5/5: 必要十分条件をまとめる
ざっくり言うと

開区間の端点は、四面体が平らになるか二頂点が一致する場合を正確に表している。

k=1: 0<a<3,k=2: 0<a<2+3,k=3: a>0,k=4: a>2−3,k=5: a>1/3\boxed{k=1:\ 0<a<\sqrt3,\quad k=2:\ 0<a<\sqrt{2+\sqrt3},\quad k=3:\ a>0,\quad k=4:\ a>\sqrt{2-\sqrt3},\quad k=5:\ a>1/\sqrt3}
詳しい解説

蝶番の端点は退化配置なので除外され、区間内部の値は連続性によりすべて実現する。各場合を合わせると表示した必要十分条件になる。