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第4問

直径 ABAB の半円弧 γ\gamma を描く。CC を A,BA,B 以外の弧上の点とし、DD を CC から ABAB への垂線の足とする。三円 γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 は直線 ABAB に接し、γ1\gamma_1 は三角形 ABCABC の内接円、γ2\gamma_2 と γ3\gamma_3 は CDCD と γ\gamma に接し、CDCD の反対側にそれぞれ位置する。三円がもう一つの共通接線を持つことを証明せよ。
ステップ 2/4: 二つの補助円の半径を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

半円が共通の直角三角形の関係を与えるため、二つの半径は直角をはさむ辺 a,ba,b で表せる。

r2=a−a2c,r3=b−b2c,r2+r3=a+b−c=2r1r_2=a-\frac{a^2}{c},\qquad r_3=b-\frac{b^2}{c},\qquad r_2+r_3=a+b-c=2r_1
詳しい解説

X,YX,Y を γ2,γ3\gamma_2,\gamma_3 と ABAB の接点とする。半円を用いた直角三角形の計算から r2=a−a2/cr_2=a-a^2/c を得て、対称性から r3=b−b2/cr_3=b-b^2/c を得る。c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 なので和は a+b−c=2r1a+b-c=2r_1 に簡約される。