MathLabs

第4問

直径 ABAB の半円弧 γ\gamma を描く。CC を A,BA,B 以外の弧上の点とし、DD を CC から ABAB への垂線の足とする。三円 γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 は直線 ABAB に接し、γ1\gamma_1 は三角形 ABCABC の内接円、γ2\gamma_2 と γ3\gamma_3 は CDCD と γ\gamma に接し、CDCD の反対側にそれぞれ位置する。三円がもう一つの共通接線を持つことを証明せよ。
ステップ 4/4: 既知の接線を反射する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの円の中心の中点を通る直線に関する反射は二円を交換し中央の円を保つので、第二接線が自動的に現れる。

O1∈O2O3,O1P=r1,O2X=r2,O3Y=r3,O1 is the midpoint of O2O3O_1\in O_2O_3,\qquad O_1P=r_1,\qquad O_2X=r_2,\qquad O_3Y=r_3,\qquad O_1\text{ is the midpoint of }O_2O_3
詳しい解説

三つの中心は、それぞれの底辺接点を通り ABAB に垂直な直線上にある。PP が XYXY の中点で r2+r3=2r1r_2+r_3=2r_1 なので、O1O_1 は O2O3O_2O_3 の中点である。共通接線 ABAB を直線 O2O3O_2O_3 に関して反射する。反射は接触を保つので、像の直線が三円の第二の共通接線となる。