第5問

平面上の

n>4

個の点は三点が一直線上にないとする。与えられた点を頂点とする凸四角形が少なくとも

\binom{n-3}{2}

個あることを証明せよ。

ステップ 3/6: 重複計数を抑える

\#\{\text{5-subsets containing a fixed quadrilateral}\}=n-4

詳しい解説

固定した凸四角形は4点を使うので、それを含む5点集合は残り $n-4$ 点から1点を選ぶことで得られる。従って各四角形は高々 $n-4$ 回数えられる。