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第5問

平面上の n>4n>4 個の点は三点が一直線上にないとする。与えられた点を頂点とする凸四角形が少なくとも (n−32)\binom{n-3}{2} 個あることを証明せよ。
ステップ 6/6: 因数分解して終える
n(n−1)(n−2)−60(n−4)=(n−5)(n−6)(n+8)≥0n(n-1)(n-2)-60(n-4)=(n-5)(n-6)(n+8)\ge0
詳しい解説

n≥5n\ge5 ではこの積は非負である。5≤n≤65\le n\le6 では端点で0かつ区間内で非負、n≥6n\ge6 では各因子の符号が適切である。従って Q≥(n−32)Q\ge\binom{n-3}{2}。