MathLabs

第6問

実数 x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2 が x1>0x_1>0, x2>0x_2>0, x1y1>z12x_1y_1>z_1^2, x2y2>z22x_2y_2>z_2^2 を満たすとき、8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2} を証明せよ。等号成立の必要十分条件を求めよ。
ステップ 4/8: 非負平方を使う
前のステップ次のステップ
2z1z2≤z12y2y1+z22y1y22z_1z_2\le z_1^2\frac{y_2}{y_1}+z_2^2\frac{y_1}{y_2}
詳しい解説

y1,y2>0y_1,y_2>0 なので y1y2(z1/y1−z2/y2)2y_1y_2(z_1/y_1-z_2/y_2)^2 は非負である。展開すれば表示式になる。