第6問

実数

x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2

が

x_1>0

x_2>0

x_1y_1>z_1^2

x_2y_2>z_2^2

を満たすとき、

\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}

を証明せよ。等号成立の必要十分条件を求めよ。

ステップ 7/8: 左辺の分母を作る

前のステップ次のステップ

4a_1a_2\le(a_1+a_2)C,\quad 4a_1a_2\le(a_1+a_2)^2\quad\Longrightarrow\quad 8a_1a_2\le(a_1+a_2)(C+a_1+a_2)=A(a_1+a_2),\quad C=x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2

詳しい解説

ステップ6と、 $(a_1-a_2)^2\ge0$ と同値な $4a_1a_2\le(a_1+a_2)^2$ を組み合わせる。 $C=x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2$ 、 $A=C+a_1+a_2$ とおくと、ステップ6より $4a_1a_2\le(a_1+a_2)C$ である。2つの不等式を足せば $8a_1a_2\le A(a_1+a_2)$ を得る。