MathLabs

第6問

実数 x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2 が x1>0x_1>0, x2>0x_2>0, x1y1>z12x_1y_1>z_1^2, x2y2>z22x_2y_2>z_2^2 を満たすとき、8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2} を証明せよ。等号成立の必要十分条件を求めよ。
ステップ 8/8: 割って等号条件を得る
前のステップ次のステップ
8A≤1a1+1a2,x1=x2, y1=y2, z1=z2\frac8A\le\frac1{a_1}+\frac1{a_2},\quad x_1=x_2,\ y_1=y_2,\ z_1=z_2
詳しい解説

ステップ5より C=x1y2+x2y1−2z1z2≥2a1a2C=x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2\ge2\sqrt{a_1a_2} なので、A=C+a1+a2≥a1+a2+2a1a2>0A=C+a_1+a_2\ge a_1+a_2+2\sqrt{a_1a_2}>0 である。したがって Aa1a2>0Aa_1a_2>0 であり、割れば求める不等式を得る。すべてで等号となるには a1=a2a_1=a_2、y1=y2y_1=y_2、z1/y1=z2/y2z_1/y_1=z_2/y_2 が必要で、従って z1=z2z_1=z_2、さらに x1=x2x_1=x_2。逆にこれらなら全て等号となる。