MathLabs

第2問

a,b,n>1a,b,n>1を整数とし、a,ba,bを二つの記数法の底とする。同じ数字列xn,…,x0x_n,\ldots,x_0（xn≠0x_n\ne0、xn−1≠0x_{n-1}\ne0）を用い、底aaでAn=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0、底bbでBn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0と定める。An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}であることとa>ba>bであることが同値であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 各桁の重みを比較する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

大きい底は前の桁に大きい重みを与える。

a>bLongrightarrowanbkgebnakquad(0leklen)a>b\\Longrightarrow a^nb^k\\ge b^na^k\\quad(0\\le k\\le n)
詳しい解説

a>ba>bなら任意のk≤nk\le nでan−k≥bn−ka^{n-k}\ge b^{n-k}。正の因子akbka^kb^kを掛ければ式を得て、k<nk<nでは真に不等号となる。